Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

По Б.О.О возьмем a1>=a2>=a3>=....>=a20

Синих возьмем как наибольшие 9 числа

а красных как наименьшие 10 числа.Понятно что сумма синих не меньше красных,потому что в обратном случае красные должны быть положительными,но их сумма равен нулю