Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Допустим из этих $20$ чисел не найдется $10$ чисел сумма который не равен $0$

Из $20$ можно выбрать $184756$ неповтаряющих $10$ чисел. Их всех сложим, тогда сумма будет равен $0$. Значить сумма каких то десять из них должен равняться нулю.

Эти десять чисел берем отдельно и номеруем $a_{1},$ $a_{2}$,... , $a_{10}$.

А вторую группу номеруем от $a_{11}$ до $a_{20}$. Очевидно что из этих $20$ найдется какой-то $a_{i}$ $\leq$ $0$. Б.О.О $a_{i}$ $=$ $a_{10}$ $\Rightarrow$ $a_{1} + a _{2} + ... + a_{9}$ $\geq$ $0$ = $a_{11} + a _{12} + ... + a_{20}$