Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1. Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел

$a$ ,

$b,$

$c$ ,

$d$ ,

$e$ можно найти сумму

$ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de$ , затратив не более 10 кВт/ч. ( К. Кноп )
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дано натуральное число

$n$ .

$n$ -операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на

$n$ . При каких натуральных

$n$ , больших 1, из каждого натурального числа за несколько

$n$ -операций получается число, кратное

$n$ ? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Вершина

$C$ равнобедренной трапеции

$ABCD$ (

$AD \parallel BC$ ) лежит на основании

$AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника

$ADE$ . Докажите, что прямая

$CD$ перпендикулярна прямой

$BE$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. При каком наименьшем

$k$ на числовой прямой можно отметить

$k$ точек таким образом, чтобы для каждого натурального числа

$n$ от 1 до 100 нашлись две отмеченные точки, расстояние между которыми равно

$2^n$ ? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. В белой таблице размером

$100\times 100$ клеток окрашено в красный цвет

$N$ (

$N > 0$ ) клеток таким образом, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3. Чему может быть равно

$N$ ? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)