қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур дистанционного этапа
Задача №1. Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b,$ $c$, $d$, $e$ можно найти сумму $ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de$, затратив не более 10 кВт/ч.
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дано натуральное число $n$. $n$-операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на $n$. При каких натуральных $n$, больших 1, из каждого натурального числа за несколько $n$-операций получается число, кратное $n$?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Вершина $C$ равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) лежит на основании $AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ADE$. Докажите, что прямая $CD$ перпендикулярна прямой $BE$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. При каком наименьшем $k$ на числовой прямой можно отметить $k$ точек таким образом, чтобы для каждого натурального числа $n$ от 1 до 100 нашлись две отмеченные точки, расстояние между которыми равно $2^n$?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В белой таблице размером $100\times 100$ клеток окрашено в красный цвет $N$ ($N > 0$) клеток таким образом, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3. Чему может быть равно $N$?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)