Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур дистанционного этапа

Есеп №1. Кванттық компьютер әр қосу немесе көбейту операциясын орындау үшін 1 кВт/сағ электрэнергиясын жұмсайды. Оған қоса компьютер өзі есептеген нәтижені есте сақтай алады. Компьютер есіндегі кез келген

$a$ ,

$b,$

$c$ ,

$d$ ,

$e$ сандары үшін 10 кВт/сағ-тан аспайтын электрэнергиясын жұмсау арқылы

$ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de$ қосындысын таба алатынымызды дәлелдеңіз. ( К. Кноп )
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Натурал

$n$ саны берілген. Қандай да бір натурал санға сол санды

$n$ -ге бөлгенде шығатын қалдықты қосу операциясын

$n$ -операция деп атайық. 1-ден үлкен қандай

$n$ сандары үшін кез келген натурал саннан бірнеше

$n$ -операция арқылы

$n$ -ге бөлінетін сан ала аламыз? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теңбүйірлі

$ABCD$ (

$AD \parallel BC$ ) трапециясының

$C$ төбесі тікбұрышты әрі теңбүйірлі

$ADE$ үшбұрышының

$AE$ табанында жатыр.

$CD$ мен

$BE$ түзулері өзара перпендикуляр екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$k$ санының қандай ең кіші мәнінде, 1-ден 100-ге дейінгі кез келген натурал

$n$ саны үшін, ара-қашықтығы

$2^n$ -не тең болатын екі нүкте табылатындай, сандық өсте

$k$ нүктені белгілей аламыз? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Ұяшықтары ақ түске боялған

$100\times 100$ өлшемді тақта берілген. Тақтаның бір бағаны мен бір қатарының бірігуінен пайда болған кез келген фигурадағы қызыл ұяшықтар саны 3-ке бөлінетіндей етіп, осы тақтаның

$N$ (

$N > 0$ ) ұяшығы қызыл түске боялған.

$N$ саны нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)