Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2014-2015 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Шеңбер бойымен 2015 оң сандар жазылған. Кез келген қатар келген екі санның қосындысы олардан кейін сағат бойымен тұрған екі сандарға кері сандардың қосындысынан үлкен. Берілген барлық 2015 санның көбейтіндісі 1-ден үлкен екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть по кругу стоят числа $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_{2015}$. Заметим, что $a+b > {\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}} \Leftrightarrow (a+b)cd > c+d\quad(*)$. Записав в форме $(*)$ все 2015 данных в условии неравенств и перемножив их, в правой части получим неравенство $X \cdot (x_1x_2 \dots x_{2015})^2 > X$, где $X = (x_1+x_2)(x_2+x_3)\dots(x_{2014}+x_{2015})(x_{2015}+x_1)$. Поделив обе части этого неравенства на $X$, получим неравенство $(x_1x_2\dots x_{2015})^2 > 1$, откуда $x_1x_2\dots x_{2015} > 1$.