Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2014-2015 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры


Шеңбер бойымен 2015 оң сандар жазылған. Кез келген қатар келген екі санның қосындысы олардан кейін сағат бойымен тұрған екі сандарға кері сандардың қосындысынан үлкен. Берілген барлық 2015 санның көбейтіндісі 1-ден үлкен екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть по кругу стоят числа x1, x2, , x2015. Заметим, что a+b>1c+1d(a+b)cd>c+d(). Записав в форме () все 2015 данных в условии неравенств и перемножив их, в правой части получим неравенство X(x1x2x2015)2>X, где X=(x1+x2)(x2+x3)(x2014+x2015)(x2015+x1). Поделив обе части этого неравенства на X, получим неравенство (x1x2x2015)2>1, откуда x1x2x2015>1.