Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, I тур заключительного этапа
По кругу написаны 2015 положительных чисел. Сумма любых двух рядом стоящих чисел больше суммы обратных к двум следующим за ними по часовой стрелке. Докажите, что произведение всех этих чисел больше 1.
(
С. Берлов,
А. Голованов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть по кругу стоят числа x1, x2, …, x2015. Заметим, что a+b>1c+1d⇔(a+b)cd>c+d(∗). Записав в форме (∗) все 2015 данных в условии неравенств и перемножив их, в правой части получим неравенство X⋅(x1x2…x2015)2>X, где X=(x1+x2)(x2+x3)…(x2014+x2015)(x2015+x1). Поделив обе части этого неравенства на X, получим неравенство (x1x2…x2015)2>1, откуда x1x2…x2015>1.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.