Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2013 год

Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Lemma:

if $p=3k+2$, then $p$ can not divide $q^2-q+1$.

Solution: $ p|q^3+1$ then by fermat we get a contradiction.

Step 1)

Easily see that $ p>3$, then $p^2=pq+q^3+1>2q+q^3+1>2q+q^2+1=(p+1)^2$,

hence $p>q+1$, then $ p|q^3+1=(q+1)(q^2-q+1)$, and $q+1<p$, from this see that

$ p|q^2-q+1$, hence $ p=3k+1$.

Step 2)

if $ q=3m+1$, then $1=p^2-pq-q^3 \equiv -1 (mod $ $3)$, a contradiction. Hence $ q=3m+2$ or $q=3$. if $q=3m+2$, then $ 1=p^2-pq -q^3 \equiv0 (mod 3)$, conradiction again. Hence $q=3$, and from this we easily get $p=7$. So$ (p,q)=(7,3)$ is the only solution.

Рассмотрим mod p, тогда: $p \mid q^3+1 , (q+1)(q^2-q+1) : p$, если $q+1 : p, \Rightarrow p^2 = pq + q^3 + 1 > q^2 \Rightarrow p^2 > q^2, p > q, p \ge q+1$, but $q+1 \ge p$ so contradicts,

esli $p = q + 1$, to $(q+1)^2 = q(q+1) = q^3 + 1, \Rightarrow q+1 = q^2 + 1 > q +1$ opyat contradicts, so $q^2-q+1 : p$, esli $p = 2(mod 3)$, then $q^2-q+1=3k+2 = 2(mod 3)$ contraditcs, if $p = 0 (mod 3), p = 3, q(q^2+3) = 8$ no solution, so $p = 1(mod3), q^3+q = 0 (mod 3)$, so $q=3, p^2 = 3p + 28, 28 : p$ tut $p = {2, 7}$ otkuda edinstvenniy solution $p = 7, q = 3$

$p^2$-$pq$ = $q^3+1$ а это $p(p-q)$=$(q+1)(q^2-q+1)$ if $q=2$ $p^2-2p=9$ значить $q(q-1)$ $\equiv$ $1$ $\pmod {p}$ и просто смотрим по модулю 3 и $q=3$ $p=7$

Уравнений можно представить в виде $p^2 = 1 + pq + q^3$ $\Rightarrow$ $q^3 + 1$ $\vdots$ $p$ $\Rightarrow$ $(q + 1)(q^2 - q + 1)$ $\vdots$ $p$ . Заметим что $p^2$ $=$ $1 + pq + q^3$ $>$ $q^3 > q^2$ $\Rightarrow$ $p^2 > q^2 \Rightarrow p > q$ $\Rightarrow$ $p \geq q$ . Рассмотрим два случая :

$1)$ $q + 1$ $\vdots$ $p$ $\rightarrow$ $p = q + 1$ $\Rightarrow$ $(q+1)^2 - (q + 1)q - q^3 = 1$ что очевидно неверно .

$2)$ $q^2 - q + 1$ $\vdots$ $p$ $\rightarrow$

$i$) $p = 3k + 2$ это очевидно неправильно по теореме Жирара .

$ii$) $p = 3k + 1$ $p \equiv 1 \pmod{3}$ $\Rightarrow$ рассмотря по модулю $3$ можем подтверждать что $q = 3$ и $p = 7$ .

$iii)$ $p = 3$ $\Rightarrow$ $9 - 3q - q^3 = 1$ что нет решений в простых числах .

Значит всевозможные ответы $(p , q) = (7 , 3)$