Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2011 год

Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цветы использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+{1\over b}$ и $b+{1\over a}$ разного цвета. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Обозначим за $x$ и $y$ числа $a+\frac{1}{b}$ и $b+\frac{1}{a}$ соответственно, поэтому $b=y-\frac{1}{a}$, подставим это в $x$: $$x=a+\frac{1}{y-\frac{1}{a}}\Leftrightarrow a^2x-axy+x=0(1),$$ поэтому существуют такие числа, если квадратное уравнение (1), относительно переменной $a$ имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть $D=(xy)^2-4xy\geq 0$, что эквивалентно $xy\geq 4$, поскольку числа больше нуля (по условию).

Предположим, что утверждение задачи не выполнено, тогда любые два числа дающие в произведение хотя бы 4, должны быть одного цвета, поскольку легко можно построить числа $a$ и $b$ и получить противоречие. Тогда любое число должно быть того же цвета, что и 4, поэтому получаем противоречие, так как все числа будут одно цвета.