Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2011 год

Задача №1. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №2. Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ , точка

$M$ — середина

$AB$ . На прямой

$AB$ выбраны точки

$S_1$ и

$S_2$ . Касательные, проведенные из

$S_1$ к окружности

$\omega_1$ касаются ее в точках

$X_1$ и

$Y_1$ , а касательные из

$S_2$ к

$\omega_2$ касаются ее в точках

$X_2$ и

$Y_2$ . Докажите, что если прямая

$X_1X_2$ проходит через

$M$ , то прямая

$Y_1Y_2$ тоже проходит через

$M$ . ( А. Акопян )
комментарий/решение(3)

Задача №3. На каждой клетке бесконечной шахматной доски написано наименьшее количество ходов, за которое конь может дойти от этой клетки до данной клетки

$O$ . Назовем клетку особой, если на ней написано число 100, а на всех соседних с ней (по стороне) клетках — 101. Сколько существует особых клеток? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №4. На отрезке натурального ряда имеется ровно 10 четвертых степеней и ровно 100 кубов. Докажите, что на этом отрезке не менее 2000 точных квадратов. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №5. Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цветы использованы). Докажите, что существуют такие вещественные

$a$ и

$b$ , что числа

$a+{1\over b}$ и

$b+{1\over a}$ разного цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №6. Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так, чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова). ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №7. Дан выпуклый шестиугольник

$AC'BA'CB'$ , у которого каждые две противоположные стороны равны.

$A_1$ — точка пересечения

$BC$ и серединного перпендикуляра к

$AA'$ . Точки

$B_1$ и

$C_1$ определяются аналогично. Докажите, что

$A_1$ ,

$B_1$ и

$C_1$ лежат на одной прямой. ( А. Акопян )
комментарий/решение

Задача №8.

$P(n)$ — квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Для каждого натурального

$n$ у числа

$P(n)$ нашелся собственный делитель

$d_n$ (т.е.

$1 < d_n < P(n)$ ) так, что последовательность

$(d_n)$ — возрастающая. Докажите, что либо

$P(n)$ можно разложить в произведение двух линейных многочленов с целыми коэффициентами, либо значения

$P(n)$ во всех натуральных точках делятся на одно и то же натуральное

$m > 1$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение