қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2011 год
Задача №1. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница
попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый
ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих
детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек.
Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых
ребенка.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, точка $M$ — середина $AB$.
На прямой $AB$ выбраны точки $S_1$ и $S_2$. Касательные, проведенные из $S_1$ к окружности $\omega_1$
касаются ее в точках $X_1$ и $Y_1$, а касательные из $S_2$ к $\omega_2$ касаются ее в точках
$X_2$ и $Y_2$. Докажите, что если прямая $X_1X_2$
проходит через $M$, то прямая $Y_1Y_2$ тоже проходит через $M$.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. На каждой клетке бесконечной шахматной доски написано наименьшее
количество ходов, за которое конь может дойти от этой клетки до данной
клетки $O$. Назовем клетку особой, если на ней написано число 100, а на всех
соседних с ней (по стороне) клетках — 101. Сколько существует особых клеток?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. На отрезке натурального ряда имеется ровно 10 четвертых степеней и
ровно 100 кубов. Докажите, что на этом отрезке не менее 2000 точных квадратов.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цветы использованы).
Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+{1\over b}$ и $b+{1\over a}$
разного цвета.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы
различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так,
чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова).
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Дан выпуклый шестиугольник $AC'BA'CB'$, у которого каждые две противоположные стороны равны.
$A_1$ — точка пересечения $BC$ и серединного перпендикуляра к $AA'$.
Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. $P(n)$ — квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Для каждого
натурального $n$ у числа $P(n)$ нашелся собственный делитель $d_n$ (т.е. $1 < d_n < P(n)$) так, что
последовательность $(d_n)$ — возрастающая. Докажите, что либо $P(n)$ можно
разложить в произведение двух линейных многочленов с целыми коэффициентами,
либо значения $P(n)$ во всех натуральных точках
делятся на одно и то же натуральное $m > 1$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение