Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2011 год

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, точка $M$ — середина $AB$. На прямой $AB$ выбраны точки $S_1$ и $S_2$. Касательные, проведенные из $S_1$ к окружности $\omega_1$ касаются ее в точках $X_1$ и $Y_1$, а касательные из $S_2$ к $\omega_2$ касаются ее в точках $X_2$ и $Y_2$. Докажите, что если прямая $X_1X_2$ проходит через $M$, то прямая $Y_1Y_2$ тоже проходит через $M$. ( А. Акопян )

Комментарий/решение

$O_1,O_2$ - центры $\omega_1,\omega_2$ соответственно.

Утверждение:

$P = X_1M \cap \omega_1,$ тогда $P$ - точка симметричная $Y_1$ относительно $O_1O_2$, $Q = Y_2M \cap \omega_2$, тогда $Q$ симметрична $X_2$ относительно

$O_1O_2$.

Доказательство:

$AX_1BY_1$ и $AX_2BY_2$ - гармонические четырехугольники, тогда раз двойные отношения сохраняются при проецировании с окружности на прямую, имеем:

$$(A,X_1;B,Y_1) \stackrel{P}{=} (A,M;B, \infty), (A,X_2;B,Y_2) \stackrel{Q}{=} (A,M;B, \infty)$$

Это доказывает, что $PY_1||AB||QX_2$, а значит $P$ симметрична $Y_1$ относительно $O_1O_2$, $Q$ симметрична $X_2$ относительно $O_1O_2$., тогда получаем трапецию $Y_1X_2QP$, где $M$ лежит на диагонали $X_2P$, а также на отрезке соединяющем середины оснований $X_2Q, Y_1P$, то есть, по замечательному свойству трапеции $M$ лежит и на диагонали $Y_1Q$, что и есть прямая $Y_1Y_2$.

$O_1;O_2$ центры окружностей $\omega_1;\omega_2$ соответственно

Очевидно что $S_2Y_2=S_2X_2 \Leftrightarrow \angle{Y_1X_1S_1}=\angle{X_1Y_1S_1}$ аналогично $\angle{Y_2X_2S_2}=\angle{X_2Y_2S_2}$ так же очевидно что $S_2O_2X_2Y_2$ вписан как и $S_1O_1X_1Y_1$ поймем, что так как $O_1O_2$ перпендикулярен $S_1S_2$(пересекаются в середине общей хорды) то понятно, что $\angle{O_1MS_1}=90°=\angle{O_1X_1S_1}$ значит $MO_1X_1S_1$ вписан, значит так как окружность определяется 3 точками (1)$Y_1MO_1X_1S_1$ вписан. Аналогично (2)$Y_2MO_2X_2S_2$ вписан

Из (1)

$\angle{Y_1MS_1}=\angle{Y_1X_1S_1}=\angle{X_1Y_1S_1}=\angle{S_1MX_1}$

Из (2)

$\angle{Y_2MS_2}=\angle{Y_2X_2S_2}=\angle{X_2Y_2S_2}=\angle{S_2MX_2}$

Теперь достаточно заметить, что $\angle{S_2MX_2}=\angle{S_1MX_1}$ потому что из того, что точки на одной прямой, это вертикальные углы

Тогда из равенства углов сверху получим $\angle{Y_2MS_2}=\angle{Y_1MS_1}$ значит это вертикальные углы, а если вертикальные углы, то $Y_1;M;Y_2$ лежат на одной прямой ЧТД

Замечание: Я не знаю насколько повлияет, если точки по другому взять.

У меня рисунок такой, что $S_1;S_2$ в разных сторонах относительно $O_1O_2$ и

$X_1;Y_2$ в одной стороне, а $Y_1;X_2$ в другой стороне относительно $S_1S_2$

Но логика должна остаться такой же