Processing math: 80%

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2011 жыл


ω1 және ω2 шеңберлері A және B нүктелерінде қиылысады. M нүктесі AB кесіндісінің ортасы. AB түзуі бойында S1 және S2 нүктелері алынды. S1 нүктесінен жүргізілген жанамалар ω1 шеңберімен X1 және Y1 нүктелерінде жанасады, ал S2 нүктесінен жүргізілген жанамалар ω2 шеңберімен X2 және Y2 нүктелерінде жанасады. Егер X1X2 түзуі M арқылы өтсе, Y1Y2 түзуі де M арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( А. Акопян )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
1 года 11 месяца назад #

O1,O2 - центры ω1,ω2 соответственно.

Утверждение:

P=X1Mω1, тогда P - точка симметричная Y1 относительно O1O2, Q=Y2Mω2, тогда Q симметрична X2 относительно

O1O2.

Доказательство:

AX1BY1 и AX2BY2 - гармонические четырехугольники, тогда раз двойные отношения сохраняются при проецировании с окружности на прямую, имеем:

(A,X1;B,Y1)P=(A,M;B,),(A,X2;B,Y2)Q=(A,M;B,)

Это доказывает, что PY1||AB||QX2, а значит P симметрична Y1 относительно O1O2, Q симметрична X2 относительно O1O2., тогда получаем трапецию Y1X2QP, где M лежит на диагонали X2P, а также на отрезке соединяющем середины оснований X2Q,Y1P, то есть, по замечательному свойству трапеции M лежит и на диагонали Y1Q, что и есть прямая Y1Y2.

пред. Правка 2   1
9 месяца 9 дней назад #

O1;O2 центры окружностей ω1;ω2 соответственно

Очевидно что S2Y2=S2X2Y1X1S1=X1Y1S1 аналогично Y2X2S2=X2Y2S2 так же очевидно что S2O2X2Y2 вписан как и S1O1X1Y1 поймем, что так как O1O2 перпендикулярен S1S2(пересекаются в середине общей хорды) то понятно, что \angle{O_1MS_1}=90°=\angle{O_1X_1S_1} значит MO_1X_1S_1 вписан, значит так как окружность определяется 3 точками (1)Y_1MO_1X_1S_1 вписан. Аналогично (2)Y_2MO_2X_2S_2 вписан

Из (1)

\angle{Y_1MS_1}=\angle{Y_1X_1S_1}=\angle{X_1Y_1S_1}=\angle{S_1MX_1}

Из (2)

\angle{Y_2MS_2}=\angle{Y_2X_2S_2}=\angle{X_2Y_2S_2}=\angle{S_2MX_2}

Теперь достаточно заметить, что \angle{S_2MX_2}=\angle{S_1MX_1} потому что из того, что точки на одной прямой, это вертикальные углы

Тогда из равенства углов сверху получим \angle{Y_2MS_2}=\angle{Y_1MS_1} значит это вертикальные углы, а если вертикальные углы, то Y_1;M;Y_2 лежат на одной прямой ЧТД

  0
9 месяца 9 дней назад #

Замечание: Я не знаю насколько повлияет, если точки по другому взять.

У меня рисунок такой, что S_1;S_2 в разных сторонах относительно O_1O_2 и

X_1;Y_2 в одной стороне, а Y_1;X_2 в другой стороне относительно S_1S_2

Но логика должна остаться такой же