Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур дистанционного этапа

Задача №1. Каждую клетку доски $7\times 7$ закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, не совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Петя задумал натуральное число, не большее 4. Вася может указать любое натуральное число или несколько чисел и спросить Петю, есть ли задуманное число среди них (например: «Верно ли, что задуманное число равно 2?» или «Верно ли, что задуманное число равно 2 или 3?»). Петя должен ответить «Да» или «Нет». Как Васе за 11 вопросов узнать задуманное число, если Петя в ответ может и соврать, но не больше трех раз? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Напомним, что факториалом $n!$ натурального числа $n$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно (например, $1! = 1,$ а $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5).$ Можно ли из чисел $1!,$ $2!,$ $\ldots,$ $99!,$ $100!$ вычеркнуть одно так, чтобы произведение оставшихся оказалось кубом натурального числа? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Точки $D$ и $E$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ за точки $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AE$ и $DC.$ Докажите, что $MN > AD/2.$ ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. На экране компьютера горит число, а на пульте компьютера есть две кнопки. Нажатие на одну из кнопок переводит число $n$, написанное на экране, в $2n-1,$ а на другую — в $2n+1$. Пока оператор отсутствовал, хулиган Вася подкрался к пульту и произвёл сто несанкционированных нажатий на кнопки. Докажите, что по числу, которое теперь горит на экране, оператор (знающий, сколько раз Вася нажимал на кнопки и какое число было на экране до прихода Васи) сможет определить, в каком порядке Вася нажимал на кнопки, если число, горевшее вначале на экране: а) целое; б) произвольное. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)