Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур дистанционного этапа

Точки $D$ и $E$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ за точки $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AE$ и $DC.$ Докажите, что $MN > AD/2.$ ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $L$ и $K$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Так как средние линии $KL$ и $KM$ треугольников $ABC$ и $ACE$ параллельны одной и той же прямой $BC,$ а точки $L$ и $M$ лежат по разные стороны от прямой $AC,$ точка $K$ лежит на отрезке $LM.$ Заметим, что $\angle NKM = \angle NKC+\angle CKM = \angle BAC+\angle BCA = 180^\circ-\angle ABC > 90^\circ.$ Поэтому $MN$ — самая длинная сторона в треугольнике $MKN.$ В частности, $MN > KN = AD/2,$ что и требовалось доказать.