қазақша
русскийМатематикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры
Есеп №1. $7\times 7$ тақтаның әр клеткасы тоғыз түстің біреуіне боялған. Тақтаның жиегінде орналаспаған әр клетка үшін, сол клеткаға көрші болатын (қатар, баған немесе диагональ бойынша) клеткалардың түстерінің арасында, түсі сол клеткадан өзгеше болатын, қалған сегіз түстің барлығы бар екені белгілі. Әр түс үшін, сол түсті клеткалар саны кемінде төрт клетка дәлелдеңіз.
(
Р. Женодаров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Петя 4-тен артық емес натурал сан жасырды. Вася кез келген бір немесе бірнеше сан көрсетіп, Петя-дан Петя жасырған сан сол сандардың ішінде бар жоғын сұрай алады. Мысалға: «Жасырған сан 2-ге тең бе?», немесе «Жасырған сан 2 және 3 сандарының арасында бар ма?». Петя «Ия» немесе «Жоқ» деген жауап қайтаруы керек. Петя жауап бергенде өтірік немесе шын жауап бере алады. Бірақ ол 3-тен көп рет өтірік айта алмайды. Вася 11 сұрақ қою арқылы Петя жасырған санды қалай таба алады?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $n!$ факториалы деп, $1$-ден $n$-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісін айтамыз (мысалға, $1! = 1,$ ал $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5).$ $1!,$ $2!,$ $\ldots,$ $99!,$ $100!$ сандарының (барлығы 100 сан) біреуін өшіріп тастағанда, қалған сандардың көбейтіндісі натурал санның кубы бола алады ма?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $BC$ қабырғаларының сәйкесінше $B$ және $C$ нүктелерінен ары созындыларында $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $M$ және $N$ сәйкесінше $AE$ және $DC$-ның орталары. $MN > AD/2$ екенін дәлелдеңіз.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Компьютер экранында сан жанып тұр, ал компьютерді басқару құралында екі батырма бар. Батырманың біріншісін басқанда экранда жазылған $n$ саны $2n-1$ санына, ал екіншісін басқанда $2n+1$ санына айналады. Оператор болмаған кезде, қаскүнем Вася басқару құралын алып, батырмаларды 100 рет басқан. Оператор қайтып оралған кезде, ол экранда жанып тұрған сан бойынша Вася батырмаларды қандай ретпен басқанын анықтай алатынын дәлелдеңіз (оператор Вася келгенге дейін экранда қандай сан болғанын және Вася неше рет басқанын біледі). Есепті екі жағдай үшін шешіңіз:
а) бастапқыдағы экрандағы жанып тұрған сан — бүтін сан;
б) бастапқыдағы экрандағы жанып тұрған сан — кез келген сан. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
а) бастапқыдағы экрандағы жанып тұрған сан — бүтін сан;
б) бастапқыдағы экрандағы жанып тұрған сан — кез келген сан. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)