Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур дистанционного этапа

Напомним, что факториалом $n!$ натурального числа $n$ называется произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно (например, $1! = 1,$ а $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5).$ Можно ли из чисел $1!,$ $2!,$ $\ldots,$ $99!,$ $100!$ вычеркнуть одно так, чтобы произведение оставшихся оказалось кубом натурального числа? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Если произведение оставшихся факториалов — куб натурального числа, то для любого простого числа степень, в которой оно входит в это произведение, должна делиться на 3. Простое число 97 входит ровно в четыре факториала: от 97! до 100!, и в каждый — в первой степени. Поэтому вычеркнут должен быть один из этих четырех факториалов. Но тогда простое число 89 будет входить ровно в 11 факториалов: от 89! до 100!, исключая вычеркнутый. Противоречие.