Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры

$n!$ факториалы деп, $1$-ден $n$-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісін айтамыз (мысалға, $1! = 1,$ ал $5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5).$ $1!,$ $2!,$ $\ldots,$ $99!,$ $100!$ сандарының (барлығы 100 сан) біреуін өшіріп тастағанда, қалған сандардың көбейтіндісі натурал санның кубы бола алады ма? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Если произведение оставшихся факториалов — куб натурального числа, то для любого простого числа степень, в которой оно входит в это произведение, должна делиться на 3. Простое число 97 входит ровно в четыре факториала: от 97! до 100!, и в каждый — в первой степени. Поэтому вычеркнут должен быть один из этих четырех факториалов. Но тогда простое число 89 будет входить ровно в 11 факториалов: от 89! до 100!, исключая вычеркнутый. Противоречие.