Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2012 год

Вершины правильного 2012-угольника обозначены буквами $A_1$, $A_2$, $\dots$ $A_{2012}$ в некотором порядке. Известно, что если $k+l$ и $m+n$ дают одинаковые остатки при делении на 2012, то хорды $A_kA_l$ и $A_mA_n$ не имеют общих точек. Вася идет вокруг многоугольника, и видит, что первые две вершины обозначены $A_1$ и $A_4$. Как обозначена десятая по ходу вершина? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть третья вершина это $A_{I}$. Тогда так как $1+i=(i-3)+4$, то чтобы $A_{1}A_{i}$ и $A_{4}A_{i-3}$ не пересеклись $A_{i}$ и $A_{i-3}$ должны совпадать. То есть $i=7$. Теперь пусть $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ рядом стоящие вершины. Аналогично получаем, что $x+z \equiv 2 \cdot y \pmod {2012}$. Тогда $z \equiv 2 \cdot y - x \pmod{2012}$. По такому правилу получаем, что вершины пронумерованы: $A_{1}, A_{4}, A_{7}, A_{10}, A_{13}, ..., A_{28}$. То есть десятая вершина это $A_{28}$.