Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2012 год


Вершины правильного 2012-угольника обозначены буквами A1, A2, A2012 в некотором порядке. Известно, что если k+l и m+n дают одинаковые остатки при делении на 2012, то хорды AkAl и AmAn не имеют общих точек. Вася идет вокруг многоугольника, и видит, что первые две вершины обозначены A1 и A4. Как обозначена десятая по ходу вершина? ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
3 года 2 месяца назад #

Пусть третья вершина это AI. Тогда так как 1+i=(i3)+4, то чтобы A1Ai и A4Ai3 не пересеклись Ai и Ai3 должны совпадать. То есть i=7. Теперь пусть Ax,Ay,Az рядом стоящие вершины. Аналогично получаем, что x+z2y(mod2012). Тогда z2yx(mod2012). По такому правилу получаем, что вершины пронумерованы: A1,A4,A7,A10,A13,...,A28. То есть десятая вершина это A28.