Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2012 жыл

2012 төбесі бар дұрыс көпбұрыштың төбелері қандай да бір қатарда ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots$, ${{A}_{2012}}$ әріптерімен белгіленді. Егер $k+l$ және $m+n$ сандары, 2012-ге бөлгенде бірдей қалдық берсе, ${{A}_{k}}{{A}_{l}}$ және ${{A}_{m}}{{A}_{n}}$ хордаларына ортақ нүкте жоқ екені белгілі. Вася көпбұрышты айнала қарастырғанда, алғашқы екі төбе ${{A}_{1}}$ және ${{A}_{4}}$ арқылы белгіленгенін көрді. Рет бойынша 10-ыншы орналасқан төбе қалай белгіленген? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть третья вершина это $A_{I}$. Тогда так как $1+i=(i-3)+4$, то чтобы $A_{1}A_{i}$ и $A_{4}A_{i-3}$ не пересеклись $A_{i}$ и $A_{i-3}$ должны совпадать. То есть $i=7$. Теперь пусть $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ рядом стоящие вершины. Аналогично получаем, что $x+z \equiv 2 \cdot y \pmod {2012}$. Тогда $z \equiv 2 \cdot y - x \pmod{2012}$. По такому правилу получаем, что вершины пронумерованы: $A_{1}, A_{4}, A_{7}, A_{10}, A_{13}, ..., A_{28}$. То есть десятая вершина это $A_{28}$.