Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2012 год

Пусть $p=1601$ (простое число), а $m\over n$ — несократимая дробь, равная сумме тех из дробей $${1\over 0^2+1},\quad{1\over 1^2+1},\quad\dots,\quad{1\over (p-1)^2+1},$$ знаменатели которых не делятся на $p$. Докажите, что $2m+n$ делится на $p$. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть $a^2\equiv-1\pmod p$(таковой существует, так как $p\equiv1\pmod4$) и $S=(\mathbb{Z/pZ})\setminus\{a,p-a\}$. Ясно, что $|S|=p-3$. Тогда $$s=\sum_{a\in S}\frac{1}{a^2+1}\equiv\sum_{a\in S}\frac{1}{a^{-2}+1}=\sum_{a\in S}\frac{a^2}{a^{2}+1}=p-3-s\Rightarrow s\equiv-\frac32\pmod p$$ Здесь мы использовали биективность $x\rightarrow\frac1x$ на множестве $S$, которая следует из $$\{\frac11,\frac12,...,\frac1{p-1}\}=\{1,2,...,p-1\}$$ $$a(p-a)\equiv1\pmod p$$ В итоге $$\frac mn\equiv1+s\equiv-\frac12\pmod p\\2m+n\equiv0\pmod p$$ что требовалось доказать