Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2012 жыл

$p=1601$ (жай сан) болсын, ал қысқартылмайтын бөлшек $\dfrac{m}{n}$, алымдары $p$ санына қысқармайтын, $\dfrac{1}{{{0}^{2}}+1}$, $\dfrac{1}{{{1}^{2}}+1}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{{{\left( p-1 \right)}^{2}}-1}$ бөлшектердің қосындысына тең болсын. $2m+n$ саны $p$ санына бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть $a^2\equiv-1\pmod p$(таковой существует, так как $p\equiv1\pmod4$) и $S=(\mathbb{Z/pZ})\setminus\{a,p-a\}$. Ясно, что $|S|=p-3$. Тогда $$s=\sum_{a\in S}\frac{1}{a^2+1}\equiv\sum_{a\in S}\frac{1}{a^{-2}+1}=\sum_{a\in S}\frac{a^2}{a^{2}+1}=p-3-s\Rightarrow s\equiv-\frac32\pmod p$$ Здесь мы использовали биективность $x\rightarrow\frac1x$ на множестве $S$, которая следует из $$\{\frac11,\frac12,...,\frac1{p-1}\}=\{1,2,...,p-1\}$$ $$a(p-a)\equiv1\pmod p$$ В итоге $$\frac mn\equiv1+s\equiv-\frac12\pmod p\\2m+n\equiv0\pmod p$$ что требовалось доказать