11-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2015 год

Каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в белый или голубой цвет. Докажите, что можно выбрать цвет так, чтобы при каждом натуральном $n$ нашёлся треугольник площади $n$ с тремя вершинами выбранного цвета. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Если каждые две соседние точки (то есть точки на расстоянии 1) разного цвета, то получается одноцветная решётка из квадратов $\sqrt2\times\sqrt2$, в которой легко найти треугольник любой натуральной площади. Если это не так, рассмотрим две соседние точки $A$ и $B$ ($AB=1$) одного цвета (скажем, белого). Чтобы найти треугольник площади $n$, нам нужна белая точка на прямой, проходящей параллельно $AB$ на расстоянии $2n$. Если такая точка найдётся для каждого $n$, утверждение доказано. В противном случае существует прямая $\ell$, целиком заполненная голубыми точками. Рассмотрим прямую $\ell_1$, ``соседнюю с $\ell$'', то есть проходящую параллельно $\ell$ на расстоянии 1 от неё. Если на ней есть голубая точка, то имеется треугольник с голубыми вершинами площади $n\over 2$ для каждого натурального $n$. Единственный оставшийся случай — когда прямая $\ell_1$ содержит только белые точки. Тогда мы рассмотрим прямую $\ell_2\ne \ell$ на расстоянии 1 от $\ell_1$, и, как и выше, если на ней есть белая точка, утверждение доказано. А если все точки $\ell_2$ голубые, то для каждого натурального $n$ найдётся треугольник площади $n$ с тремя голубыми вершинами.

От противного.

Если в горизонтале $(x;0)$ есть хотя бы две белых точек расстояния между которыми $n$, то очевидно все точки на горизонтале $(x;2);(x;-2)$ голубые(иначе выберем эти две белые, и любой белый на $(x;2)$ или $(x-2)$ и эти 3 будут давать треугольник с площадью $n$). Но если так то горизонталь $(x;0)$ полностью белый. Но тогда какая ни была точка на $(x;1)$ то там все равно найдется треугольника у которого площадь $n$

$(S=2n \times 1 \times \dfrac{1}{2})$

Значит пусть нету точек на $(x;0)$ одного цвета между которыми расстояние $n$. Тогда на $(x;0)$ все точки одного цвета расположены через $2n$ но тогда какая бы точка на $(x;1)$ не была(допустим белый), то можно выбрать этот белый, а потом еще две белые(расстоянии между которыми 2n) на $(x;0)$ и как раз там площадь будет $S=2n \times 1 \times \dfrac{1}{2}$