Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2013 год

Докажите, что любой многочлен четвертой степени можно представить в виде $P(Q(x))+R(S(x))$, где $P$, $Q$, $R$, $S$ — квадратные трехчлены. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Допустим, что нам нужно представить многочлен:

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

Тогда квадратные трехчлены могут равняться следующему:

$Q(x)=x^2+x$

$P(x)=\frac{b}{2}*x^2+dx$

$S(x)=x^2$

$R(x)=(a-\frac{b}{2})*x^2+(c-\frac{b}{2}-d)*x+e$

И тогда, $P(Q(x))+R(S(x))= \frac{b}{2}*(x^4+2x^3+x^2)+d*(x^2+x)+(a-\frac{b}{2})*x^4+(c-\frac{b}{2}-d)*x^2+e=$

$=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$