Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2012 год

Четырехугольник $ABCD$ является одновременно вписанным и описанным. Вписанная окружность касается его сторон $AB$ и $CD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к сторонам $AB$ и $CD$ в точках $A$ и $D$ соответственно, пересекаются в точке $U$, перпендикуляры к ним же в точках $X$ и $Y$ пересекаются в точке $V$, и, наконец, в точках $B$ и $C $ — в точке $W$. Докажите, что $U$, $V$, $W$ лежат на одной прямой. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Ща будет решение

Пусть $BB_1$, $CC_1$,$AA_1$ и $DD_1$ диаметры $(ABCD)$, $P$ точка пересечение диогоналей,

$BC \cap AD = M$, $AB \cap CD = N$, $K$ и $L$ точки касания $BC$ и $AD$ соответственно, О центр описанной. Использовав теорему Паскаля для $BB_1ACC_1D$ и $DD_1CAA_1B$, получим $$ W - P - O - U$$. Тогда достаточно показать, что $$ P - V - O $$.

По теореме Брокарда, $P$ полюс $MN$. Тогда $$PO \perp MN$$( Рассматривалась окружность с центром $O$).

С другой стороны, по теореме Ньютона, $KL \cap XY = P$. Тогда $N$ и $M$ полюсы $XY$ и $KL$ соответственно, то есть $P$ полюс $MN$, $$PV \perp MN$$(рассматривалась окружность с центром $V$). Отсюда вытекает, что $P - V - O$, чтд.