қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур дистанционного этапа
Задача №1. Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На окружности отмечено 150 серых, 151 бурая и 152 малиновых точки таким образом, что никакие две одноцветные точки не стоят рядом. Докажите, что найдётся бурая точка, у которой оба соседа — малиновые.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Клетчатый прямоугольник $100\times 101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски $1\times 5$ так, что в каждом столбце содержится ровно $k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно $k$?
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Внутри трапеции $ABCD$ $(BC \parallel AD),$ где $AD = 2BC,$ взята точка $F,$ для которой $AB = FB.$ Точка $M$ — середина отрезка $FD.$ Докажите, что $CM \perp FA.$
(
Ф. Бахарев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Существуют ли 10000 последовательных семизначных чисел, которые можно разбить на 99 групп так, чтобы сумма всех чисел в каждой из групп была одной и той же?
(
Д. Карпов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)