Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур дистанционного этапа

Внутри трапеции $ABCD$ $(BC \parallel AD),$ где $AD = 2BC,$ взята точка $F,$ для которой $AB = FB.$ Точка $M$ — середина отрезка $FD.$ Докажите, что $CM \perp FA.$ ( Ф. Бахарев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть $N$ — середина $AF.$ Отрезок $NM$ — средняя линия треугольника $AFD,$ поэтому $NF \parallel AD \parallel BC$ и $NF = AD/2 = BC.$ Следовательно, $NBCM$ — параллелограмм, и $BN \parallel CM.$ С другой стороны, отрезок $BN$ является медианой равнобедренного треугольника $ABF,$ поэтому $BN \perp AF.$ Таким образом, $CM \perp AF,$ что и требовалось.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.    
Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке $K.$ Из условия $AD = 2BC$ следует, что $BC$ — средняя линия треугольника $AKD.$ Поэтому $KC = CD.$ Теперь $CM$ — средняя линия треугольника $KDF,$ откуда $CM \parallel KF.$ С другой стороны, $BF = AB = BK,$ поэтому треугольник $AFK$ прямоугольный, где $KF \perp AF.$ Таким образом, $CM \perp AF,$ что и требовалось.