Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры


ABCD трапециясында BC∥AD және AD=2BC. Трапеция ішінде AB=FB болатындай F нүктесі белгіленген. M нүктесі — FD кесіндісінің ортасы. CM⊥FA екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть N — середина AF. Отрезок NM — средняя линия треугольника AFD, поэтому NF∥AD∥BC и NF=AD/2=BC. Следовательно, NBCM — параллелограмм, и BN∥CM. С другой стороны, отрезок BN является медианой равнобедренного треугольника ABF, поэтому BN⊥AF. Таким образом, CM⊥AF, что и требовалось.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.    
Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке K. Из условия AD=2BC следует, что BC — средняя линия треугольника AKD. Поэтому KC=CD. Теперь CM — средняя линия треугольника KDF, откуда CM∥KF. С другой стороны, BF=AB=BK, поэтому треугольник AFK прямоугольный, где KF⊥AF. Таким образом, CM⊥AF, что и требовалось.