Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур дистанционного этапа


Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 120.
Решение. Пусть числа Саши, Андрея и Оли равны a, b, c соответственно. Тогда по условию a|bc|=1, b|ac|=121. Из первого равенства a=1, и тогда из второго b(c1)=121. Значит, либо b=1, c=122 (что противоречит первому равенству), либо b=121, c=2 (аналогично), либо, наконец, b=11, c=12. Поэтому у Оли получится c(ba)=1210=120.