Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур дистанционного этапа
Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
(
А. Кузнецов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 120.
Решение. Пусть числа Саши, Андрея и Оли равны a, b, c соответственно. Тогда по условию a⋅|b−c|=1, b⋅|a−c|=121. Из первого равенства a=1, и тогда из второго b(c−1)=121. Значит, либо b=1, c=122 (что противоречит первому равенству), либо b=121, c=2 (аналогично), либо, наконец, b=11, c=12. Поэтому у Оли получится c⋅(b−a)=12⋅10=120.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.