Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Саша, Андрей және Оля бір натурал саннан айтты. Олардың әрқайсысы өз санын қалған екі баланың таңдаған сандарына көбейтіп, екі көбейтіндінің үлкенінен кішісін азайтты. Сашада азайтынды 1-ге, ал Андрейде азайтынды 121-ге тең болды. Оляда қандай азайтынды шыққан? Барлық мүмкін жауаптарды көрсетіңіз және басқа жауап жоқ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 120.
Решение. Пусть числа Саши, Андрея и Оли равны $a,$ $b,$ $c$ соответственно. Тогда по условию $a\cdot |b-c| = 1,$ $b\cdot |a-c| = 121.$ Из первого равенства $a = 1,$ и тогда из второго $b(c-1) = 121.$ Значит, либо $b = 1,$ $c = 122$ (что противоречит первому равенству), либо $b = 121,$ $c = 2$ (аналогично), либо, наконец, $b = 11,$ $c = 12.$ Поэтому у Оли получится $c\cdot (b-a) = 12\cdot 10 = 120.$