Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур дистанционного этапа

Существуют ли 10000 последовательных семизначных чисел, которые можно разбить на 99 групп так, чтобы сумма всех чисел в каждой из групп была одной и той же? ( Д. Карпов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нет.
Решение. Заметим, что найдется группа $A,$ содержащая не больше 101 числа, ибо $99 \cdot 102 > 10000.$ С другой стороны, найдется группа $B$ хотя бы из 102 чисел, ибо $99 \cdot 101 < 10000.$ Пусть первое из 10000 данных нам чисел равно $n.$ Тогда cумма $S_A$ всех чисел из группы $A$ не больше, чем $a = (n+9999)+(n+9999-1)+\ldots+(n+9999-100) = 101n+9999\cdot 101-50\cdot 101 = 101n+9949 \cdot 101.$ Cумма же $S_B$ всех чисел из группы $B$ не меньше, чем $b = n+(n+1)+\ldots (n+101),$ что равняется $102n+101\cdot 51.$ Значит, $S_B-S_A \ge b-a = n-9949\cdot 101+51\cdot 101 = n-9898\cdot 101 = n-999698 > 0,$ так как число 999698 — шестизначное, а число $n$ — семизначное. Поэтому $S_B \ne S_A,$ откуда и вытекает ответ.