Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2019-2020 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Саша, Андрей және Оля бір натурал саннан айтты. Олардың әрқайсысы өз санын қалған екі баланың таңдаған сандарына көбейтіп, екі көбейтіндінің үлкенінен кішісін азайтты. Сашада азайтынды 1-ге, ал Андрейде азайтынды 121-ге тең болды. Оляда қандай азайтынды шыққан? Барлық мүмкін жауаптарды көрсетіңіз және басқа жауап жоқ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Шеңберде 150 сұр, 151 қоңыр және 152 қызғылт нүктелері белгіленген. Ешқандай бір түсті екі нүкте көрші орналаспаған. Екі көршісі де қызғылт болатын қоңыр түсті нүкте табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Өлшемі

$100\times 101$ болатын торлы тіктөртбұрыш (100 жол, 101 баған) өлшемі

$1\times 5$ болатын жолақтарға бөлінген. Әр бағанда тігінен орналасқан жолақтар саны

$k$ -ға тең.

$k$ саны қандай мән қабылдай алады? ( Ф. Петров )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABCD$ трапециясында

$BC \parallel AD$ және

$AD = 2BC.$ Трапеция ішінде

$AB = FB$ болатындай

$F$ нүктесі белгіленген.

$M$ нүктесі —

$FD$ кесіндісінің ортасы.

$CM \perp FA$ екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Келесі шартты қанағаттандыратын жеті таңбалы қатар келген 10000 сан табылады ма: сол сандарды, әр топтағы сандардың қосындысы бірдей болатындай, 99 топқа бөлуге болады? ( Д. Карпов )
комментарий/решение(1)