Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, I тур регионального этапа

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ такая, что $BD = AC$. Медиана $AM$ этого треугольника пересекает отрезок $BD$ в точке $K$. Оказалось, что $DK = DC$. Докажите, что $AM+KM = AB$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Обозначим через $L$ точку, симметричную $K$ относительно $M$. Тогда $AD = AC - CD = BD - DK = BK = CL$. Поскольку углы $BDA$ и $ACL$ равны как соответственные, а $BD = AC$ по условию, треугольники $BDA$ и $ACL$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $AB = AL = AM+ML = AM+KM$.

Давайте достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCE$ так как $AC=BE$ то $BD=BE$

отсюда следует что углы $BED$ $BDE$ равны а углы $BED EDC$ равны по параллельности тогда

так как $KD=DC$ то прямая $DE$ делит пополам а также перпендикулярна отрезку $KC$ тогда отрезки $KE$ $EC$ равны но так как $EC=AB$ то $AB=KE$ а $KE=KM+ME$ а $ME=AM$ тогда $KE=AM+KM=AB$ ч.т.д.