Эйлер атындағы олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

$ABC$ үшбұрышның $AC$ қабырғасында $BD=AC$ болатындай $D$ нүктесі алынған. Осы үшбұрыштың $AM$ медианасы $BD$ кесіндісін $K$ нүктесінде қияды. Егер $DK=DC$ екені белгілі болса, онда $AM+KM=AB$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Обозначим через $L$ точку, симметричную $K$ относительно $M$. Тогда $AD = AC - CD = BD - DK = BK = CL$. Поскольку углы $BDA$ и $ACL$ равны как соответственные, а $BD = AC$ по условию, треугольники $BDA$ и $ACL$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $AB = AL = AM+ML = AM+KM$.

Давайте достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCE$ так как $AC=BE$ то $BD=BE$

отсюда следует что углы $BED$ $BDE$ равны а углы $BED EDC$ равны по параллельности тогда

так как $KD=DC$ то прямая $DE$ делит пополам а также перпендикулярна отрезку $KC$ тогда отрезки $KE$ $EC$ равны но так как $EC=AB$ то $AB=KE$ а $KE=KM+ME$ а $ME=AM$ тогда $KE=AM+KM=AB$ ч.т.д.