Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1.  40 разбойников переправились с помощью двухместной лодки с левого берега реки на правый (некоторые рейсы, возможно, выполнялись в одиночку). Могло ли случиться, что каждая пара разбойников пересекла реку вместе ровно один раз (с левого берега на правый или с правого на левый)? ( А. Шаповалов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2. Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей: например, совершенным является число 6, так как $2\cdot 6 = 1+2+3+6$. Может ли сумма всех попарных произведений натуральных делителей совершенного числа $n$ делиться на $n^2$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В стране Графинии $n$ $( n \geq 2)$ городов. Некоторые города соединены беспосадочными авиалиниями (по каждой авиалинии выполняются рейсы в обоих направлениях) таким образом, что из любого города можно самолётами (возможно, с пересадками) добраться до любого другого, но закрытие любой авиалинии нарушает это свойство. При этом из любого города выходит не больше $d$ авиалиний. Докажите, что все города Графинии можно разбить не более чем на $\frac{n}{2} + d$ групп таким образом, чтобы каждая авиалиния соединяла города из разных групп и для любых двух групп существовало не более одной авиалинии, соединяющей города из этих групп. ( Д. Карпов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  $CK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На сторонах $BC$ и $AC$ выбраны точки $L$ и $T$ соответственно такие, что $CT = BL$ и $TL = BK$. Докажите, что треугольник $LTC$ подобен исходному. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---