Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2014-2015 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. 40 қарақшы екі орынды қайық арқылы сол жағадан оң жағаға ауысты (кейбір рейсті бір ғана қарақшы орындауы мүмкін). Орын ауыстыру кезінде қарақшылардың екі-екіден алған әр жұбы өзенді бірге дәл бір реттен ғана кесуі мүмкін бе (сол жағадан оң жағаға немесе оң жағадан сол жағаға)? ( А. Шаповалов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Егер қандай да бір натурал сан өзінің барлық натурал бөлгіштерінің қосындысынан екі есе кіші болса, ондай санды кемелді сан деп атаймыз: мысалға 6 саны кемелді, өйткені $2\cdot 6=1+2+3+6$. Кемелді натурал $n$ санының бөлгіштерінің қос-қостан барлық көбейтінділерінің қосындысы $n^2$-қа бөліне алады ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Графиния елінде $n$ $(n \geq 2)$ қала бар. Кейбір қалалар тұра (қонбай ұшып өтетін) авиажолымен қосылған (әр авиажолмен рейстер екі бағытта да орындалады). Кез келген қаладан ұшақпен кез келген басқа қалаға жетуге болады (басқа қала арқылы жету де мүмкін), бірақ, кез келген авиажолды жапса, ол шарт бұзылады. Сонымен қатар әр қаладан $d$-дан көп емес авиажол шығады. Графиния қаласының барлық қалаларын, әр авиажол әр түрлі топтағы екі қаланы қосатындай және кез келген екі топ үшін сол екі топты қосатын авиажол саны бірден аспайтындай, саны $\dfrac{n}{2} + d$ санынан аспайтын топ санына бөлуге болатынын дәлелдеңіз. ( Д. Карпов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $CK$ — $ABC$ үшбұрышының биссектрисасы. $BC$ және $AC$ қабырғаларынан $CT=BL$ және $TL=BK$ болатындай сәйкесінше $L$ және $T$ нүктелері алынған. $LTC$ үшбұрышы алдыңғы үшбұрышқа ұқсас екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---