Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Заключительный этап

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, II тур заключительного этапа

В выпуклом четырёхугольнике

$ABCD$ , в котором

$AB = CD$ , на сторонах

$AB$ и

$CD$ выбраны точки

$K$ и

$M$ соответственно. Оказалось, что

$AM = KC$ ,

$BM = KD$ . Докажите, что угол между прямыми

$AB$ и

$KM$ равен углу между прямыми

$KM$ и

$CD$ . ( С. Берлов )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение 1. Треугольники $ABM$ и $CDK$ равны по трём сторонам, значит, равны и их высоты $KK_1$ и $MM_1$ . Если они равны $KM$ , то они совпадают с $KM$ , и утверждение задачи очевидно. Если же эти высоты меньше $KM$ , то прямоугольные треугольники $KK_1M$ и $MM_1K$ равны по гипотенузе и катету; значит, равны их углы $K_1MK$ и $M_1KM$ , что и требовалось доказать. На рисунках ниже показаны два возможных случая взаимного расположения треугольников $KK_1M$ и $MM_1K$ .

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2. Решение 2.
Лемма. По двум сторонам $a$ и $b$ и углу $\alpha$ напротив стороны $a$ можно построить не более двух различных треугольников. Если существуют два неравных треугольника с такими данными, то сумма их углов, лежащих напротив сторон, равных $b$ , равна $180^\circ$ .

Доказательство. Возьмем угол

$XAY$ , равный

$\alpha$ , и отложим на стороне

$AX$ отрезок

$AC = b$ . Третьи вершины искомых треугольников находятся на пересечении луча

$AY$ и окружности радиуса

$a$ с центром

$C$ . Таких точек не больше двух. Если их ровно две —

$B_1$ и

$B_2$ — то треугольник

$CB_1B_2$ — равнобедренный. Пусть

$AB_2 > AB_1$ . Тогда

$\angle CB_1A + \angle CB_2A = \angle CB_1A +\angle CB_1B_2 = 180^\circ$ .
Решение задачи. Треугольники

$ABM$ и

$CDK$ равны по трем сторонам. Поэтому

$\angle KAM = \angle BAM = \angle DCK = \angle MCK$ . Таким образом, треугольники

$AKM$ и

$CMK$ имеют пару равных сторон

$AM = CK$ , общую сторону

$KM$ и пару равных углов напротив общей стороны. Если треугольники

$AKM$ и

$CMK$ равны, то

$\angle AKM = \angle CMK$ , и все доказано. Если же они не равны, то по лемме

$\angle AKM = 180^\circ - \angle CMK = \angle DMK$ , и тоже все доказано.

Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур заключительного этапа

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, II тур заключительного этапа