Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, II тур заключительного этапа


В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$, в котором $AB = CD$, на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $AM = KC$, $BM = KD$. Докажите, что угол между прямыми $AB$ и $KM$ равен углу между прямыми $KM$ и $CD$. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Треугольники $ABM$ и $CDK$ равны по трём сторонам, значит, равны и их высоты $KK_1$ и $MM_1$. Если они равны $KM$, то они совпадают с $KM$, и утверждение задачи очевидно. Если же эти высоты меньше $KM$, то прямоугольные треугольники $KK_1M$ и $MM_1K$ равны по гипотенузе и катету; значит, равны их углы $K_1MK$ и $M_1KM$, что и требовалось доказать. На рисунках ниже показаны два возможных случая взаимного расположения треугольников $KK_1M$ и $MM_1K$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2.
Лемма. По двум сторонам $a$ и $b$ и углу $\alpha$ напротив стороны $a$ можно построить не более двух различных треугольников. Если существуют два неравных треугольника с такими данными, то сумма их углов, лежащих напротив сторон, равных $b$, равна $180^\circ$.


Доказательство. Возьмем угол $XAY$, равный $\alpha$, и отложим на стороне $AX$ отрезок $AC = b$. Третьи вершины искомых треугольников находятся на пересечении луча $AY$ и окружности радиуса $a$ с центром $C$. Таких точек не больше двух. Если их ровно две — $B_1$ и $B_2$ — то треугольник $CB_1B_2$ — равнобедренный. Пусть $AB_2 > AB_1$. Тогда $\angle CB_1A + \angle CB_2A = \angle CB_1A +\angle CB_1B_2 = 180^\circ$.
Решение задачи. Треугольники $ABM$ и $CDK $ равны по трем сторонам. Поэтому $\angle KAM = \angle BAM = \angle DCK = \angle MCK$. Таким образом, треугольники $AKM$ и $CMK $ имеют пару равных сторон $AM = CK$, общую сторону $KM $ и пару равных углов напротив общей стороны. Если треугольники $AKM $ и $CMK$ равны, то $\angle AKM = \angle CMK$, и все доказано. Если же они не равны, то по лемме $\angle AKM = 180^\circ - \angle CMK = \angle DMK$, и тоже все доказано.

пред. Правка 2   1
2026-06-24 00:10:29.0 #

Очевидно $\triangle ABM = \triangle CKD$. Рассмотрим $\triangle MBK$ и $\triangle MDK$: $BM = KD$, $\angle KBM = \angle KDM$, $KM$ - общая, откуда по теореме синусов $\sin \angle KMD = \sin \angle BKM$, значит эти углы или равны, или дают в сумме $180^\circ$, в обоих случаях мы получаем требуемое.

Shahma.Aibek