Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2005 год

Точки $X$ и $Y$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, $I$ — центр его вписанной окружности, $K$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ пересекает прямую $XY$ в точке $P$, а биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает $XY$ в точке $Q$. Докажите, что площадь четырехугольника $PKQI$ равна половине площади исходного треугольника. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Получим что $QY=CY , BX= PX$ , так как $XY$ средняя линия треугольника $ABC$ значит $PQ = \dfrac{AC+BC+AB}{2}=p_{ABC}$ тогда $S_{PIKQ} = S_{ PQK} - S_{QIP} = \dfrac{(r+h _ { QIP }) p_{ABC}}{2} - \dfrac{ p _ { ABC } \cdot h _ { QIP } }{2} = \dfrac{p _ { ABC } r }{2} = \dfrac{S_{ABC}}{2}$