Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2005 жыл

$ABC$ үшбұрышының $AC$ және $BC$ қабырғаларының орталары $X$ және $Y$ нүктелері болсын, $I$ іштей сызылған шеңбер центрі, $K-$іштей сызылған шеңбердің $BC$ қабырғасын жанау нүктесі. $B$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы $XY$ түзуін $P$ нүктесінде қияды. $PKQL$ төртбұрышының ауданы берілген үшбұрышының ауданының жартысына тең болатынын дәлелде. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Получим что $QY=CY , BX= PX$ , так как $XY$ средняя линия треугольника $ABC$ значит $PQ = \dfrac{AC+BC+AB}{2}=p_{ABC}$ тогда $S_{PIKQ} = S_{ PQK} - S_{QIP} = \dfrac{(r+h _ { QIP }) p_{ABC}}{2} - \dfrac{ p _ { ABC } \cdot h _ { QIP } }{2} = \dfrac{p _ { ABC } r }{2} = \dfrac{S_{ABC}}{2}$