Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1. Можно ли число 240 представить в виде суммы девяти двузначных чисел (среди которых могут быть и одинаковые), в десятичной записи каждого из которых есть девятка? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Внутри параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E,$ лежащая на биссектрисе угла $A,$ и точка $F,$ лежащая на биссектрисе угла $C.$ Известно, что середина отрезка $BF$ лежит на отрезке $AE.$ Докажите, что середина отрезка $DE$ лежит на прямой $CF.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Назовем два числа почти равными друг другу, если они равны друг другу или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Клетчатый прямоугольник со сторонами, равными натуральным числам $a$ и $b,$ таков, что из него нельзя по линиям сетки вырезать прямоугольник, площадь которого почти равна половине площади исходного прямоугольника. Какое наименьшее значение может принимать число $|a-b|$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Будем говорить, что мы укоротили число, если стерли его последнюю цифру. Натуральное число, большее миллиона, таково, что если укоротить его, получится квадрат натурального числа, если укоротить этот квадрат, получится куб натурального числа, укоротив этот куб, получим четвёртую степень натурального числа, а, укоротив эту четвёртую степень, получим пятую степень натурального числа. Докажите, что если укоротить эту пятую степень, то получится шестая степень натурального числа. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

Задача №5. На столе есть две кучки камней, в которых соответственно 100 и 101 камень. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. За ход разрешается взять кучку, убрать из неё какое-то количество камней (хотя бы один) и разбить оставшиеся в этой кучке камни на две непустые кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его соперник? ( М. Туревский )
комментарий/решение(1)