Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур регионального этапа

Будем говорить, что мы укоротили число, если стерли его последнюю цифру. Натуральное число, большее миллиона, таково, что если укоротить его, получится квадрат натурального числа, если укоротить этот квадрат, получится куб натурального числа, укоротив этот куб, получим четвёртую степень натурального числа, а, укоротив эту четвёртую степень, получим пятую степень натурального числа. Докажите, что если укоротить эту пятую степень, то получится шестая степень натурального числа. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Изначальное число - $n>1000000=10^6$

1)после первого укорочения: $\dfrac{n-a_1}{10}=n_1^2$ ($a_1$-последняя цифра числа n)

2)после второго укорочения: $\dfrac{n_1^2-a_2}{10}=n_2^3$ ($a_2$ - последняя цифра числа $n_1^2$)

3)после третьего укорочения: $\dfrac{\dfrac{n_1^2-a_2}{10}-a_3}{10}=n_3^4$ ($a_3$ - последняя цифра числа $n_2^3$)

$$\dfrac{n_1^2-10*a_3-a_2}{100}=n_3^4$$

$$n_1^2-100*n_3^4=a_3a_2$$

$$0\leq(n_1-10*n_3^2)(n_1+10*n_3^2)=a_3a_2\leq100$$

$$n_1^2>10^4, n_1>10^2=100$$

$n_1+10*n_3^2>100$, значит $(n_1-10*n_3^2)(n_1+10*n_3^2)=0$

$n_1=10*n_3^2$

$n_1^2=100*n_3^4$

Последние 2 цифры числа $n_1^2$ - нули

$$\dfrac{100*n_3^4-0}{10}=n_2^3$$

$$10*n_3^4==n_2^3$$

$10*n_3^4$ делится на $10^3$

$n_1^2=100*n_3^4$ делится на $10^4$, значит $n_1^2$ оканчивается на 4 нуля.

Представим число $n_1^2=10^4*k$ ($\Rightarrow k$- квадрат натурального числа), тогда $n_2^3=10^3*k$ ($\Rightarrow k$-куб натурального числа). Значит $k$ - шестая степень натурального числа.

4)После четвертого укорочения останется число $k*10$ что является пятой степенью натурального числа

5) После пятого укорочения останется число $k$, что является шестой степенью натурального числа.

Доказано

пусть после первого укорочения число равно $a^2$ , после второго $b^3$ и т.д. $c^4 , c^5$. А после укорочения пятой степени пусть будет число $n$.

Заметим что:

$c^4*100+k=a²$

где $k < 100$

$(c^2*100)^2=c^4*100$

тоесть квадрат после этого числа:

$(с^2*10+1)^2=с^4*100+20c^2+1$

но $20c^2+1$ явно больше чем двузначное число, значит последние цифры $а^2$ это два нуля.

Из всего вышесказанного, выходит что $b^3$ оканчивается нулем, но так как оно в 3 степени, оно должно оканчиваться минимум тремя нулями.

Мы теперь можем записать:

$n*10^4=a²$

значит, $n$ - точный квадрат

$n*10^3=b^3$

значит $n$ - точный куб

значит $n$ - точная 3×2=6 степень числа

Доказано.