Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур регионального этапа

Егер санның соңғы цифрын өшірсек, біз оны қысқарттық деп айтамыз. Миллионнан үлкен натурал сан келесі қасиетке ие: егер оны қысқарсақ, натурал санның квадратын аламыз, егер осы квадратты қысқарсақ, натурал санның кубын аламыз, осы кубты қысқарсақ, натурал санның төртінші дәрежесі болатын санды аламыз, ал осы төртінші дәрежелі санды қысқарсақ, натурал санның бесінші дәрежесі болатын санды аламыз. Осы бесінші дәрежелі санды қысқарсақ, натурал санның алтыншы дәрежесі болатын сан алатынымызды дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Изначальное число - $n>1000000=10^6$

1)после первого укорочения: $\dfrac{n-a_1}{10}=n_1^2$ ($a_1$-последняя цифра числа n)

2)после второго укорочения: $\dfrac{n_1^2-a_2}{10}=n_2^3$ ($a_2$ - последняя цифра числа $n_1^2$)

3)после третьего укорочения: $\dfrac{\dfrac{n_1^2-a_2}{10}-a_3}{10}=n_3^4$ ($a_3$ - последняя цифра числа $n_2^3$)

$$\dfrac{n_1^2-10*a_3-a_2}{100}=n_3^4$$

$$n_1^2-100*n_3^4=a_3a_2$$

$$0\leq(n_1-10*n_3^2)(n_1+10*n_3^2)=a_3a_2\leq100$$

$$n_1^2>10^4, n_1>10^2=100$$

$n_1+10*n_3^2>100$, значит $(n_1-10*n_3^2)(n_1+10*n_3^2)=0$

$n_1=10*n_3^2$

$n_1^2=100*n_3^4$

Последние 2 цифры числа $n_1^2$ - нули

$$\dfrac{100*n_3^4-0}{10}=n_2^3$$

$$10*n_3^4==n_2^3$$

$10*n_3^4$ делится на $10^3$

$n_1^2=100*n_3^4$ делится на $10^4$, значит $n_1^2$ оканчивается на 4 нуля.

Представим число $n_1^2=10^4*k$ ($\Rightarrow k$- квадрат натурального числа), тогда $n_2^3=10^3*k$ ($\Rightarrow k$-куб натурального числа). Значит $k$ - шестая степень натурального числа.

4)После четвертого укорочения останется число $k*10$ что является пятой степенью натурального числа

5) После пятого укорочения останется число $k$, что является шестой степенью натурального числа.

Доказано

пусть после первого укорочения число равно $a^2$ , после второго $b^3$ и т.д. $c^4 , c^5$. А после укорочения пятой степени пусть будет число $n$.

Заметим что:

$c^4*100+k=a²$

где $k < 100$

$(c^2*100)^2=c^4*100$

тоесть квадрат после этого числа:

$(с^2*10+1)^2=с^4*100+20c^2+1$

но $20c^2+1$ явно больше чем двузначное число, значит последние цифры $а^2$ это два нуля.

Из всего вышесказанного, выходит что $b^3$ оканчивается нулем, но так как оно в 3 степени, оно должно оканчиваться минимум тремя нулями.

Мы теперь можем записать:

$n*10^4=a²$

значит, $n$ - точный квадрат

$n*10^3=b^3$

значит $n$ - точный куб

значит $n$ - точная 3×2=6 степень числа

Доказано.