Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур регионального этапа

Есеп №1. Әрқайсысының жазылуында 9 цифры бар екітаңбалы тоғыз сан сан берілген (сандар әртүрлі болуы міндетті емес). Осы тоғыз санның қосындысы 240-қа тең болуы мүмкін ба? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $ABCD$ параллелограммының ішінде $A$ бұрышының биссектрисасында жатқан $E$ нүктесі және $C$ бұрышының биссектрисасында жатқан $F$ нүктесі белгіленген. $BF$ кесіндісінің ортасы $AE$ кесіндісінде жатыр. $DE$ кесіндісінің ортасы $CF$ түзуінде жатқанын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Егер екі сан бір-біріне тең немесе айырмашылығы 1-ден артық болмаса, ондай екі санды тең жуықты сан деп атаймыз. Көрші қабырғалары натурал $a$ және $b$ сандарына тең болатын торлы тіктөртбұрыш берілген. Осы тіктөртбұрыштан тор сызық бойымен кіші тіктөртбұрышы қалай кесіп алмасақ та, сол кіші тіктөртбұрыштың ауданы мен үлкен тіктөртбұрыштың ауданының жартысы тең жуықты аудандар емес} екені белгілі. ${|a-b|$ санының ең кіші мәні нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер санның соңғы цифрын өшірсек, біз оны қысқарттық деп айтамыз. Миллионнан үлкен натурал сан келесі қасиетке ие: егер оны қысқарсақ, натурал санның квадратын аламыз, егер осы квадратты қысқарсақ, натурал санның кубын аламыз, осы кубты қысқарсақ, натурал санның төртінші дәрежесі болатын санды аламыз, ал осы төртінші дәрежелі санды қысқарсақ, натурал санның бесінші дәрежесі болатын санды аламыз. Осы бесінші дәрежелі санды қысқарсақ, натурал санның алтыншы дәрежесі болатын сан алатынымызды дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Үстел үстінде 100 және 101 тасы бар екі үйінді жатыр. Екі ойыншы кезектесіп жүре отырып, ойын ойнайды. Әр жүрісте бір үйіндіні таңдап алып, одан бірнеше (кем дегенде бір) тасты алып тастап, сол үйіндідегі қалған тастарды екі (бос емес) үйіндіге бөлуге рұқсат. Келесі жүрісті жасай алмайтын ойыншы жеңіледі. Дұрыс ойында кім жеңеді: жүрісті бірінші бастаған ойыншы ма, әлде оның қарсыласы ма? ( М. Туревский )
комментарий/решение(1)