Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

На доске написано 100 чисел. Оказалось, что произведение любых двух написанных чисел равно сумме всех остальных. Чему может быть равна сумма всех написанных чисел? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Предположим $a_1>=a_2>=...>=a_{100}$. Пусть $S=a_1+a_2+...+a_{100}$, тогда $S-a_i-a_j=a_i*a_j => S+1=(a_i+1)*(a_j+1)$. Давайте рассмотрим случай, когда a_i=-1, очевидно, что $S+1=0 => S=-1$, тогда нетрудно понять, что либо $a_1=-1$, либо $a_2=-1$, также аналогично для $a_{99}, a_{100}$=> Допустим $a_{99}=-1=a_2 => a_2=a_3=...=a_{99}=-1$. Нетрудно догадаться, что либо $a_{100}=-1$, либо $a_1=-1$. Тогда поймём, что $a_{100}=-1$. Тогда $a_1=-1+99=98$. Напрашивается пример $a_1=98, a_2=a_3=...=a_{100}=-1$. Предположим все числа отличны от -1. Тогда $a_1=a_3=...=a_{99}, a_2=a_4=...=a_{100}$. Ну и из за того, что $a_1>=a_2>=a_3, a_1=a_3 => a_1=a_2$. Откуда все числа равны между собой. $(a_1)^2+2*a_1+1=98*a_1+1=> a_1*(a_1-98)=0 => a_1=0, a_1=98$. Тогда $S=9800; 0$

$a_1a_2-a_1a_3=a_3-a_2 \Rightarrow a_1=-1 ⠀or ⠀a_2=a_3$

$1)a_1=-1 \Rightarrow -a_2=a_3+a_4+…+a_{100} \Rightarrow -1=a_1+a_2+…+a_{100}=S$

$2)a_2=a_3; ⠀a_1a_2-a_1a_4=a_4-a_2 \Rightarrow a_1=-1 ⠀ or ⠀ a_2=a_4 ⠀if ⠀ a_1=-1 \Rightarrow S=-1$

И так далее до $a_1=a_2=…=a_{100} \Rightarrow a_1^2=a_1 \cdot 98 \Rightarrow a_1=0; ⠀98$

$So ⠀S=-1; ⠀0; ⠀98+98+…+98=98 \cdot 100=9 800$