Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа
Комментарий/решение:
Предположим a1>=a2>=...>=a100. Пусть S=a1+a2+...+a100, тогда S−ai−aj=ai∗aj=>S+1=(ai+1)∗(aj+1). Давайте рассмотрим случай, когда a_i=-1, очевидно, что S+1=0=>S=−1, тогда нетрудно понять, что либо a1=−1, либо a2=−1, также аналогично для a99,a100=> Допустим a99=−1=a2=>a2=a3=...=a99=−1. Нетрудно догадаться, что либо a100=−1, либо a1=−1. Тогда поймём, что a100=−1. Тогда a1=−1+99=98. Напрашивается пример a1=98,a2=a3=...=a100=−1. Предположим все числа отличны от -1. Тогда a1=a3=...=a99,a2=a4=...=a100. Ну и из за того, что a1>=a2>=a3,a1=a3=>a1=a2. Откуда все числа равны между собой. (a1)2+2∗a1+1=98∗a1+1=>a1∗(a1−98)=0=>a1=0,a1=98. Тогда S=9800;0
Допустим у нас есть числа a,b, тогда верно:
(a+1)(b+1)=S+1, где S-сумма всех чисел.
упорядочим числа так, чтобы было
|a1+1|≤...≤|a100+1|, и либо все модулю до 99 равны 0, либо все равны в принципе (иначе для чисел а1 и а2 и а99 и а100 произведения разные). Значит ответы: -1, 0, 9800.
a1a2−a1a3=a3−a2⇒a1=−1⠀or⠀a2=a3
1)a1=−1⇒−a2=a3+a4+…+a100⇒−1=a1+a2+…+a100=S
2)a2=a3;⠀a1a2−a1a4=a4−a2⇒a1=−1⠀or⠀a2=a4⠀if⠀a1=−1⇒S=−1
И так далее до a1=a2=…=a100⇒a21=a1⋅98⇒a1=0;⠀98
So⠀S=−1;⠀0;⠀98+98+…+98=98⋅100=9800
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.