Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа


Тақтаға 100 сан жазылған. Олардың кез келген екеуінің көбейтіндісі қалған 98-інің қосындысына тең. Тақтаға жазылған барлық 100 санның қосындысы нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
1 года назад #

Предположим a1>=a2>=...>=a100. Пусть S=a1+a2+...+a100, тогда Saiaj=aiaj=>S+1=(ai+1)(aj+1). Давайте рассмотрим случай, когда a_i=-1, очевидно, что S+1=0=>S=1, тогда нетрудно понять, что либо a1=1, либо a2=1, также аналогично для a99,a100=> Допустим a99=1=a2=>a2=a3=...=a99=1. Нетрудно догадаться, что либо a100=1, либо a1=1. Тогда поймём, что a100=1. Тогда a1=1+99=98. Напрашивается пример a1=98,a2=a3=...=a100=1. Предположим все числа отличны от -1. Тогда a1=a3=...=a99,a2=a4=...=a100. Ну и из за того, что a1>=a2>=a3,a1=a3=>a1=a2. Откуда все числа равны между собой. (a1)2+2a1+1=98a1+1=>a1(a198)=0=>a1=0,a1=98. Тогда S=9800;0

  1
1 года назад #

Допустим у нас есть числа a,b, тогда верно:

(a+1)(b+1)=S+1, где S-сумма всех чисел.

упорядочим числа так, чтобы было

|a1+1|≤...≤|a100+1|, и либо все модулю до 99 равны 0, либо все равны в принципе (иначе для чисел а1 и а2 и а99 и а100 произведения разные). Значит ответы: -1, 0, 9800.

пред. Правка 2   1
2 месяца 3 дней назад #

пред. Правка 2   2
1 месяца 17 дней назад #

a1a2a1a3=a3a2a1=1ora2=a3

1)a1=1a2=a3+a4++a1001=a1+a2++a100=S

2)a2=a3;a1a2a1a4=a4a2a1=1ora2=a4ifa1=1S=1

И так далее до a1=a2==a100a21=a198a1=0;98

SoS=1;0;98+98++98=98100=9800