Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

На доске написано 100 чисел. Оказалось, что произведение любых двух написанных чисел равно сумме всех остальных. Чему может быть равна сумма всех написанных чисел? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Предположим $a_1>=a_2>=...>=a_{100}$. Пусть $S=a_1+a_2+...+a_{100}$, тогда $S-a_i-a_j=a_i*a_j => S+1=(a_i+1)*(a_j+1)$. Давайте рассмотрим случай, когда a_i=-1, очевидно, что $S+1=0 => S=-1$, тогда нетрудно понять, что либо $a_1=-1$, либо $a_2=-1$, также аналогично для $a_{99}, a_{100}$=> Допустим $a_{99}=-1=a_2 => a_2=a_3=...=a_{99}=-1$. Нетрудно догадаться, что либо $a_{100}=-1$, либо $a_1=-1$. Тогда поймём, что $a_{100}=-1$. Тогда $a_1=-1+99=98$. Напрашивается пример $a_1=98, a_2=a_3=...=a_{100}=-1$. Предположим все числа отличны от -1. Тогда $a_1=a_3=...=a_{99}, a_2=a_4=...=a_{100}$. Ну и из за того, что $a_1>=a_2>=a_3, a_1=a_3 => a_1=a_2$. Откуда все числа равны между собой. $(a_1)^2+2*a_1+1=98*a_1+1=> a_1*(a_1-98)=0 => a_1=0, a_1=98$. Тогда $S=9800; 0$

Допустим у нас есть числа $a,b$, тогда верно:

$(a+1)(b+1)=S+1$, где S-сумма всех чисел.

упорядочим числа так, чтобы было

|a1+1|≤...≤|a100+1|, и либо все модулю до 99 равны 0, либо все равны в принципе (иначе для чисел а1 и а2 и а99 и а100 произведения разные). Значит ответы: -1, 0, 9800.