Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. Можно ли вписать в клетки таблицы ${3\times 3}$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100?
(
М. Евдокимов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. На доске написано 100 чисел. Оказалось, что произведение любых двух написанных чисел равно сумме всех остальных. Чему может быть равна сумма всех написанных чисел?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Точка $E$ — середина диагонали $BD$ трапеции $ABCD$. На основании $AD$ отмечена такая точка $F$, что $\angle AFE = \angle BAD$. Точка $K$ симметрична точке $B$ относительно $F$. Докажите, что $AC+CE \ge EK$.
(
А. Пастор
)
комментарий/решение(10)
комментарий/решение(10)
Задача №4. Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)