Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1. Можно ли вписать в клетки таблицы

${3\times 3}$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100? ( М. Евдокимов )
комментарий/решение(7)

Задача №2. На доске написано 100 чисел. Оказалось, что произведение любых двух написанных чисел равно сумме всех остальных. Чему может быть равна сумма всех написанных чисел? ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

Задача №3. Точка

$E$ — середина диагонали

$BD$ трапеции

$ABCD$ . На основании

$AD$ отмечена такая точка

$F$ , что

$\angle AFE = \angle BAD$ . Точка

$K$ симметрична точке

$B$ относительно

$F$ . Докажите, что

$AC+CE \ge EK$ . ( А. Пастор )
комментарий/решение(10)

Задача №4. Дано натуральное число

$k$ . Из натуральных чисел, не превосходящих

$12k^3$ , выбраны

$6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

результаты