Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Есеп №1. Әр қатардағы және ар бағандағы үш санның көбейтіндісі 2024-ке бөлінетіндей, бірақ сол үш санның қосындысы 100-ден кем болатындай етіп,

${3\times 3}$ кестенің ұяшықтарына әртүрлі тоғыз натурал санды жазуға болады ма? ( М. Евдокимов )
комментарий/решение(7)

Есеп №2. Тақтаға 100 сан жазылған. Олардың кез келген екеуінің көбейтіндісі қалған 98-інің қосындысына тең. Тақтаға жазылған барлық 100 санның қосындысы нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

$E$ нүктесі

$ABCD$ трапециясының

$BD$ диагоналінің ортасы.

$AD$ табанында

$\angle AFE = \angle BAD$ болатындай

$F$ нүктесі белгіленген.

$K$ нүктесі

$B$ нүктесіне

$F$ нүктесіне қарағандағы симметриялы нүкте.

$AC+CE \ge EK$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Пастор )
комментарий/решение(10)

Есеп №4. Натурал

$k$ саны берілген.

$12k^3$ санынан аспайтын натурал сандардың арасынан

$6k+20$ сан таңдап алынды. Таңдалған сандардың ішінен, бірінші алтылықтағы 6 санның қосындысы екінші алтылықтағы 6 санның қосындысына тең болатындай, бірақ осы алтылықтардың ортақ мүшесі болмайтындай етіп, екі алтылықты таңдауға болатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

результаты