Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Предположим противное.Будем выбирать пары пар чисел с равными суммами и выкидывать их из множества.Если нашлись три таких пары , из них собираются две шестёрки.Значит , выкинуто не более $8$ чисел.

В оставшемся множестве нет пар с равными суммами. Значит, если две тройки имеют равные суммы , они не пересекаются. Если найдутся две тройки с равными суммами, выкинем их.Два раза это повторить нельзя, иначе нашлись требуемые шестёрки.Значит,всего выкинуто не более, чем $8+6=14$ чисел.

В оставшемся множестве суммы всех троек различны.Однако все эти суммы меньше $3*12k^3=36k^3$, а троек хотя бы $(6k+6)(6k+5)(6k+4)/6>36k^3$.Противоречие.