Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Натурал $k$ саны берілген. $12k^3$ санынан аспайтын натурал сандардың арасынан $6k+20$ сан таңдап алынды. Таңдалған сандардың ішінен, бірінші алтылықтағы 6 санның қосындысы екінші алтылықтағы 6 санның қосындысына тең болатындай, бірақ осы алтылықтардың ортақ мүшесі болмайтындай етіп, екі алтылықты таңдауға болатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Предположим противное.Будем выбирать пары пар чисел с равными суммами и выкидывать их из множества.Если нашлись три таких пары , из них собираются две шестёрки.Значит , выкинуто не более $8$ чисел.

В оставшемся множестве нет пар с равными суммами. Значит, если две тройки имеют равные суммы , они не пересекаются. Если найдутся две тройки с равными суммами, выкинем их.Два раза это повторить нельзя, иначе нашлись требуемые шестёрки.Значит,всего выкинуто не более, чем $8+6=14$ чисел.

В оставшемся множестве суммы всех троек различны.Однако все эти суммы меньше $3*12k^3=36k^3$, а троек хотя бы $(6k+6)(6k+5)(6k+4)/6>36k^3$.Противоречие.