Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Можно ли вписать в клетки таблицы ${3\times 3}$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100? ( М. Евдокимов )

Комментарий/решение

Да

Пример

8 33 46

22 23 4

69 16 11

Ответ:Можно.

Разложить $2024$ на простые множители:

$2024÷2=1012$ $\Rightarrow$ $1012÷2=506$ $\Rightarrow$ $506÷2=253$ $\Rightarrow$ $253÷11=23$ $\Rightarrow$ $23÷23=1$

То есть из этого выходит, что разложение на простые множители $2024$ равно:

$2×2×2×11×23=2024$

Это можно записать вот так:

$8×11×23=2024$

$8+11+23=42<100$

Так как Сумма трех чисел меньше чем $100$ и произведение равно $2024$ то это значит, что так сделать можно.

Вот пример:

$8 ;11;23$

$11; 23 ;8$

$23 ; 8;11$