Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Лемма. Пусть a<d, а b<c. Тогда (a+b)(c+d)<(a+c)(b+d).
Доказательство. (a+c)(b+d)−(a+b)(c+d)=ab+cd−ac−bd=(a−d)(b−c)>0.
Решение задачи.
Разобьем всю тысячу чисел на 125 восьмёрок из идущих подряд чисел. Возьмем первую восьмерку: a1<⋯<a8. У Васи она даст суммы a1+a2, a3+a4, a5+a6, a7+a8, у Пети — суммы a1+a5, a2+a6, a3+a7, a4+a8. По лемме (a1+a2)(a5+a6)<(a1+a5)(a2+a6) и (a3+a4)(a7+a8)<(a3+a7)(a4+a8). Осталось проделать то же самое для остальных 124 восьмерок и перемножить полученные неравенства.
Замечание. Тот использованный при доказательстве леммы факт, что если a<d и b<c, то ab+cd>ac+bd, достаточно широко известен под названием транснеравенство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.