Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа


1000 различных положительных чисел записаны в ряд в порядке возрастания. Вася разбил эти числа на 500 пар соседних и нашел суммы чисел во всех парах. Петя разбил эти же числа на 500 пар таким образом, что между числами в каждой паре стоит ровно три других числа, и тоже нашел суммы чисел во всех парах. Докажите, что произведение сумм, найденных Петей, больше, чем произведение сумм, найденных Васей. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Лемма. Пусть a<d, а b<c. Тогда (a+b)(c+d)<(a+c)(b+d).
Доказательство. (a+c)(b+d)(a+b)(c+d)=ab+cdacbd=(ad)(bc)>0.
Решение задачи. Разобьем всю тысячу чисел на 125 восьмёрок из идущих подряд чисел. Возьмем первую восьмерку: a1<<a8. У Васи она даст суммы a1+a2, a3+a4, a5+a6, a7+a8, у Пети — суммы a1+a5, a2+a6, a3+a7, a4+a8. По лемме (a1+a2)(a5+a6)<(a1+a5)(a2+a6) и (a3+a4)(a7+a8)<(a3+a7)(a4+a8). Осталось проделать то же самое для остальных 124 восьмерок и перемножить полученные неравенства.
Замечание. Тот использованный при доказательстве леммы факт, что если a<d и b<c, то ab+cd>ac+bd, достаточно широко известен под названием транснеравенство.