Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1.  Существуют ли 10 различных рациональных чисел таких, что произведение любых двух из них — целое число, а произведение любых трех — нет? Напомним, что рациональным называется число, равное отношению двух целых чисел. ( О. Подлипский )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  По кругу выложены черные и белые шары, причем черных в два раза больше, чем белых. Известно, что среди пар соседних шаров одноцветных пар втрое больше, чем разноцветных. Какое наименьшее число шаров могло быть выложено? ( Б. Трушин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  1000 различных положительных чисел записаны в ряд в порядке возрастания. Вася разбил эти числа на 500 пар соседних и нашел суммы чисел во всех парах. Петя разбил эти же числа на 500 пар таким образом, что между числами в каждой паре стоит ровно три других числа, и тоже нашел суммы чисел во всех парах. Докажите, что произведение сумм, найденных Петей, больше, чем произведение сумм, найденных Васей. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ прямые. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ взяты точки $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно так, что $KLMN$ — прямоугольник. Докажите, что середина диагонали $AC$ равноудалена от прямых $KL$ и $MN$. ( Д. Швецов )
комментарий/решение(1)

---